EXTRAÇÃO DE RAÍZES - MÉTODO DE NEWTON (Parte 2 de 3)

EXTRAÇÃO DA RAIZ SEXTA DE 37

O valor aproximado da raiz sexta de 37 pelo Método de Newton-Raphson é 1,8254.

Abaixo está o passo a passo detalhado para modelar o problema e realizar as iterações numéricas.

1. Definir a Função e a Derivada

Para calcular a raiz sexta de 37, igualamos a variável a x de modo que x = raiz sexta de 37. Elevando ambos os lados à sexta potência, obtemos a equação x⁶ = 37. A partir disso, definimos nossa função f(x) e a sua respectiva derivada f'(x):

f(x) = x⁶ - 37  [função]

f'(x) = 6x⁵ - 0 = 6x⁵  [derivada da função]

2. Estabelecer a Fórmula de Recorrência

O método iterativo de Newton-Raphson é dado por:

 

 

Substituindo f(x) e f'(x), simplificamos a expressão matemática:

 

3. Escolher o Chute Inicial (x₀)

Buscamos o número inteiro cuja sexta potência seja mais próxima de 37.

1⁶ = 1

2⁶ = 64

Como 37 está entre 1 e 64, definimos o valor inicial amigável como x₀ = 2.

4. Executar as Iterações Numéricas

Iteração 1 (n = 0):

Iteração 2 (n = 1):

Iteração 3 (n = 2):

 

Resultado Final

A raiz sexta de 37 aproximada por 3 iterações do Método de Newton converge estavelmente para 1,8254 (com quatro casas decimais exatas).

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