EXTRAÇÃO DE RAÍZES - MÉTODO DE NEWTON (Parte 1 de 3)

RAIZ QUADRADA

Vamos começar por extração de RAIZ QUADRADA.

Por exemplo, o cálculo da raiz quadrada do número 37 com 3 casas decimais, que é 6,083 (na calculadora).

 

Método de Newton

Para encontrar esse valor utilizando o método de Newton (também conhecido como método das aproximações sucessivas ou fórmula de recorrência de Newton-Raphson para raízes quadradas), utilizamos a seguinte fórmula de iteração:

 

 

Onde S = 37 é o número do qual queremos extrair a raiz.

 

1. Definir aproximação inicial

Escolhemos um número cujo quadrado seja o mais próximo possível de 37. Como 6² = 36, o número 6 é uma excelente aproximação inicial x₀ = 6.

2. Calcular primeira iteração

Substituímos x₀ = 6 na fórmula para obter x₁:

 

 

3. Calcular segunda iteração

Substituímos o valor fracionário de x₁ na fórmula para obter x₂:

 

 

Como a diferença entre as duas últimas iterações já é menor que 0,001, podemos interromper o processo. Arredondando para 3 casas decimais, o valor se estabiliza em 6,083.

 

Resultado Final

A raiz quadrada de 37 extraída pelo método de Newton com precisão de 3 casas decimais é igual a 6,083.

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Abordagem Gráfica

O método de Newton (também conhecido como método de Heron ou método babilônico) usa retas tangentes geométricas para gerar aproximações sucessivas. Ele encontra a raiz quadrada de um número a ao resolver a equação

 

 

usando aproximações repetidas:

 

 

Para visualizar este método passo a passo:

 

O Algoritmo

A fórmula matemática utilizada para refinar a cada etapa é:

 

 

Onde:

 

 

 

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