EXTRAÇÃO DE RAÍZES - MÉTODO DE NEWTON (Parte 3 de 3)

EXTRAÇÃO DE RAIZ CÚBICA POR DERIVAÇÃO (Método de Newton-Raphson)

Dando seqüência aos métodos de cálculo de raízes. Newton-Raphson, descobriram um método para a obtenção dos valores das raízes de equações numéricas, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes.

Este método pode ser utilizado também para extrairmos Raízes Cúbicas de Números Reais, como explicado a seguir:

Vamos calcular, por exemplo, a Raiz Cúbica de 7,2.

Extraindo a ³√7,2 na calculadora, obteremos o valor 1,930980.

Com o método de Newton-Raphson, poderemos nos aproximar do valor exato de uma Raiz Cúbica, por exemplo, fazendo assim:

Adotando x = ³√7,2.

Portanto:

x³ = 7,2

f (x) = x³ - 7,2

E sua derivada é:

f ' (x) = 3x²

Podemos imaginar que a Raiz Cúbica 7,2 é mais ou menos 2.

Assim, vamos adotar o valor inicial x₀ = 2.

Usando o Método por Derivação, podemos iniciar a extração da Raiz Cúbica de 7,2 assim:

x₁ = x₀ - [ f (x₀) / f ' (x₀) ]

x₁ = x₀ - [ ( x₀³ - 7,2 ) / ( 3x₀²) ]

A solução da equação para x₁ (primeira iteração) será:

x₁ = 2 - [ ( 2³ - 7,2 ) / ( 3 × 2² ) ]

x₁ = 2 - [ ( 8 - 7,2 ) / 12 ]

x₁ = 2 - [ 0,8 / 12 ]

x₁ = 2 - 0,067

x₁ = 1,933 (um valor próximo da Raiz Cúbica de 7,2 que é 1,930978).

Pode-se prosseguir indefinidamente para tornar o valor mais exato, usando a equação para o cálculo de x₂ (segunda iteração) que será:

x₂ = x₁ - [ f (x₁) / f ' (x₁) ]

x₂ = x₁ - [ ( x₁³ - 7,2 ) / ( 3x₁² ) ]

Onde já obteremos o valor de 1,930980, que já muito próximo da ³√7,2.

Pode-se verificar claramente que com esse método, pode-se extrair outros tipos de Raízes, não só Raízes Quadradas e Raízes Cúbicas.

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