EXTRAÇÃO DE RAIZ QUADRADA POR DERIVAÇÃO (Método de Isaac Newton)
Isaac Newton, o criador do "Cálculo Diferencial e Integral", descobriu um método para aproximar os valores das raízes de equações numéricas, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes.
Esse método pode ser utilizado também para extrairmos Raízes Quadradas de Números Reais, como explicado a seguir:
Vamos calcular, por exemplo, a Raiz Quadrada de 7,2.
Extraindo a √7,2 na calculadora, obteremos o valor: 2,683281.
Com o método de Newton poderemos aproximar a Raiz Quadrada fazendo assim:
Adotando x = √7,2
Portanto
E sua derivada é
Podemos imaginar que a Raiz Quadrada de 7,2 é mais ou menos 2,5
Assim, vamos adotar o valor inicial x0 = 2,5
Usando o Método por Derivação, podemos iniciar a extração da Raiz Quadrada de 7,2 assim
A solução da equação para x1 será
x1 = 2,69 (um valor próximo da Raiz Quadrada de 7,2 que é 2,683281)
Pode-se prosseguir indefinidamente para tornar o valor mais exato, usando a equação para o cálculo de x2 que será
Onde já obteremos o valor de 2,6832 , muito próximo da √7,2
Veja também neste blog: RAIZ QUADRADA (Métodos Interessantes)
Isaac Newton, o criador do "Cálculo Diferencial e Integral", descobriu um método para aproximar os valores das raízes de equações numéricas, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes.
Funções de diversas raízes.
Esse método pode ser utilizado também para extrairmos Raízes Quadradas de Números Reais, como explicado a seguir:
Vamos calcular, por exemplo, a Raiz Quadrada de 7,2.
Extraindo a √7,2 na calculadora, obteremos o valor: 2,683281.
Com o método de Newton poderemos aproximar a Raiz Quadrada fazendo assim:
Adotando x = √7,2
Portanto
x2 = 7,2
f (x) = x2 - 7,2
E sua derivada é
f ' (x) = 2x
Podemos imaginar que a Raiz Quadrada de 7,2 é mais ou menos 2,5
Assim, vamos adotar o valor inicial x0 = 2,5
Usando o Método por Derivação, podemos iniciar a extração da Raiz Quadrada de 7,2 assim
x1 = x0 - [ f (x0) / f ' (x0) ]
x1 = x0 - [ ( x02 - 7,2 ) / ( 2x0 ) ]
A solução da equação para x1 será
x1 = 2,5 - [ ( 2,52 - 7,2 ) / ( 2 × 2,5 ) ]
x1 = 2,5 - [ ( 6,25 - 7,2 ) / 5 ]
x1 = 2,5 - [ - 0,95 / 5 ]
x1 = 2,5 + 0,19
x1 = 2,69 (um valor próximo da Raiz Quadrada de 7,2 que é 2,683281)
Pode-se prosseguir indefinidamente para tornar o valor mais exato, usando a equação para o cálculo de x2 que será
x2 = x1 - [ f (x1) / f ' (x1) ]
x2 = x1 - [ ( x12 - 7,2 ) / ( 2x1 ) ]
Onde já obteremos o valor de 2,6832 , muito próximo da √7,2
Veja também neste blog: RAIZ QUADRADA (Métodos Interessantes)
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Muito boa a explicação.
ResponderExcluirObrigado.
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