RAIZ QUADRADA (Método de Newton)

EXTRAÇÃO DE RAIZ QUADRADA POR DERIVAÇÃO (Método de Isaac Newton)

Isaac Newton, o criador do "Cálculo Diferencial e Integral", descobriu um método para aproximar os valores das raízes de equações numéricas, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes.

Funções de diversas raízes.

Esse método pode ser utilizado também para extrairmos Raízes Quadradas de Números Reais, como explicado a seguir:

Vamos calcular, por exemplo, a Raiz Quadrada de 7,2.

Extraindo a √7,2 na calculadora, obteremos o valor: 2,683281.

Com o método de Newton poderemos aproximar a Raiz Quadrada fazendo assim:

Adotando x = √7,2

Portanto

x² = 7,2

f (x) = x² - 7,2

E sua derivada é

f ' (x) = 2x

Podemos imaginar que a Raiz Quadrada de 7,2 é mais ou menos 2,5

Assim, vamos adotar o valor inicial x₀ = 2,5

Usando o Método por Derivação, podemos iniciar a extração da Raiz Quadrada de 7,2 assim

x₁ = x₀ - [ f (x₀) / f ' (x₀) ]

x₁ = x₀ - [ ( x₀² - 7,2 ) / ( 2x₀ ) ]

A solução da equação para x₁ será

x₁ = 2,5 - [ ( 2,5² - 7,2 ) / ( 2 × 2,5 ) ]

x₁ = 2,5 - [ ( 6,25 - 7,2 ) / 5 ]

x₁ = 2,5 - [ - 0,95 / 5 ]

x₁ = 2,5 + 0,19

x₁ = 2,69 (um valor próximo da Raiz Quadrada de 7,2 que é 2,683281)

Pode-se prosseguir indefinidamente para tornar o valor mais exato, usando a equação para o cálculo de x₂ que será

x₂ = x₁ - [ f (x₁) / f ' (x₁) ]

x₂ = x₁ - [ ( x₁² - 7,2 ) / ( 2x₁ ) ]

Onde já obteremos o valor de  2,6832 , muito próximo da √7,2

Veja também neste blog: RAIZ QUADRADA (Métodos Interessantes)

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