Números Transcendentais
Um número transcendental é um número real ou complexo que não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes inteiros. Um número real ou complexo é assim transcendente somente se ele não for algébrico. Esses números são irracionais e não podem ser escritos na forma de fração.
História dos Números Transcendentais
Questões envolvendo a natureza transcendental dos números fascinam os matemáticos desde meados do século XVIII, tornando-se uma área central da teoria dos números. “Às vezes, essas teorias não resolviam um problema original, mas eles passavam a ser ferramentas básicas na investigação de outras questões” (FIGUEIREDO).
Os números algébricos são identificados com certa facilidade: racionais, somas e produtos de raízes de números racionais e a unidade imaginária são exemplos, mas o que tornou esse estudo tão misterioso e desafiador era a incapacidade de exibir exemplos ou algum tipo de classificação para os números transcendentais.
Em 1874, Georg Cantor (1845-1918) provou que o conjunto dos números algébricos é enumerável, o que foi surpreendente: a enumerabilidade deste conjunto implicaria a existência de uma “quantidade” infinitamente maior de transcendentais do que algébricos, muito embora se conhecessem pouquíssimos exemplos. Consoante a Marques (2013), “esta teoria vive um grande paradoxo, se quase todos os números são transcendentais, porque demonstrar a transcendência de um número é, em geral, uma tarefa tão complicada?”.
Grandes matemáticos deram suas contribuições a esta linha de pesquisa, como Cantor, Hilbert e Euler, mas o primeiro número a ter sua transcendência demonstrada foi dado em 1851 pelas mãos do francês Joseph Liouville (1809-1882) que passou a ser chamado de constante de Liouville em sua homenagem.
Em 1873 que Charles Hermite (1822-1901) provou que e (Número de Euler) é transcendental.
Aproximadamente uma década após esta célebre constatação, o alemão Ferdinand von Lindemann (1852-1939) publicou uma bela e “simples” demonstração que π era transcendente. Alexander Gelfond, em 1934, e Theodor Schneider, em 1935, resolveram independentemente o famoso 7º problema de Hilbert proposto em 1900 sobre a transcendência de números como "O teorema de Gelfon Schneider (como ficou conhecido), definiu a natureza algébrica da potenciação de números, estabelecendo uma larga classe de números transcendentais.
Definição
Um número real é chamado algébrico se ele for raiz do polinômio de coeficientes inteiros, por exemplo, 2 é um número algébrico pois é raiz do polinômio x2 - 4 = 0.
Um número β é dito transcendental quando não é algébrico. Ou seja , β é transcendental quando não se consegue obter um polinômio com coeficientes inteiros P, tal que P(β) = 0.
Exemplos de Alguns Números Transcendentais
Em 1844, Joseph Liouville mostrou que o número L = ∑n=1∞10-n!, conhecido como constante de Liouville é transcendente. A ideia de Liouville para encontrar números transcendentais foi encontrar alguma propriedade que fosse satisfeita por todos os números algébricos e, em seguida, construir algum número que não possuísse tal propriedade. A constante de Liouville foi o primeiro número não algébrico a ser apresentado.
Um número é chamado número de Liouville, se existe, (pj / qj) j ≥ 1 ∈ ℚ infinita, qj > 1
tal que |∝ - (pj / qj)| = 2 < 1/qjj, ∀j ≥ 1
Todo número de Liouville é número transcendente, porém nem todo número transcendente é um número de Liouville, como exemplos temos o e, o π e a constante de Chapernowne.
Transcendência de e e de π
O teorema de Lindemann é de suma importância para provar a transcendência do número e (número de Euler) e π.
Teorema de Lindermann
Se a1, ..., an são números algébricos distintos, ea1, ..., ean são linearmente independentes sobre o corpo dos números algébricos.
Ou seja, se β é algébrico não nulo então eβ é transcendente.
Este teorema nos permite derivar de forma mais direta a transcendência de e, π e outros números transcendentais.
Aplicando este teorema para n = 2, a1 = 0 e a2 = 1, obtemos que e é transcendental. Se π fosse algébrico, também o seria πi. Aplicando o teorema para n = 2, a1 = 0, a2 = πi, teríamos 1 e eπi = −1 linearmente independentes sobre os algébricos, o que é falso. Portanto, π é transcendental.
Números Transcendentais e a Matemática
Os números primos e o número de Euler
Um número inteiro maior que 1 é primo se for apenas divisível por si mesmo e por um. Os primeiros números primos são: 2,3,5,7,11,13,17, ... O que nos deixa intrigado é o fato de que os números primos se espalham ao acaso entre os inteiros sem nenhum padrão que governa essa distribuição. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) em 1792, aos 15 anos de idade examinou uma tabela de números primos elaborada por Johann Heinrich Lambert (1728-1777) na tentativa de encontrar uma lei de formação que determinasse a quantidade de números primos que são menores de um número inteiro n.
Atualmente a função que representa a quantidade de números primos menores ou iguais a um inteiro n e denotada por π(n), onde a letra π não tem nenhuma ligação com o valor 3,141592... Dessa forma, π(10) = 4 e π(17) = 7. Depois de examinar a tabela de números primos, Gauss conjecturou:
π(n) = n / ln(n), ou de forma equivalente, π(n) / n = 1 / ln(n) onde ln(n) é o logaritmo natural cuja base é o número de Euler e.
A presença do logaritmo natural na teoria dos números primos mostra que o número e está ligado, mesmo que indiretamente, aos números primos, nos mostrando que são as relações que tornam mais belos os conceitos matemáticos.
A Espiral Logarítmica do Número de Euler
A partir do momento em que Descartes (1596–1650) apresentou a geometria analítica,muitas curvas intrigaram os matemáticos, dentre elas a espiral logarítmica, que foi a curva preferida de Jakob Bernoulli (1654–1705). A representação de curvas no plano pode ser feita por meio de vários sistemas de coordenadas, como por exemplo, as coordenadas polares. Jakob Bernoulli usou extensivamente as coordenadas polares para encontrar as propriedades das curvas. A espiral logarítmica que na época era definida pela equação lnr = aθ , onde a é uma constante e ln é o logaritmo natural na base e, hoje essa equação é escrita na forma inversa, r = eaθ. A espiral logarítmica ou espiral equiangular apresenta característica de auto similaridade, ou seja, não altera sua forma quando o tamanho aumenta. A espiral recebeu o nome equiangular em 1638 por Descartes, pois reflete uma propriedade única da espiral logarítmica. Se desenharmos uma linha reta do polo até qualquer ponto da curva, ela interceptará a curva formando exatamente o mesmo ângulo.
O fato interessante dessa curva é a possível semelhança em relação a sua forma com fenômenos de crescimento da natureza e isso pode ser verificado no redemoinho de uma galáxia ou na concha do náutilo.
Curiosidades do Número π
O Número π em Todas as Partes
O número π no espaço
O astrônomo Robert Mattews, da Universidade de Aston na Inglaterra, combinou dados astronômicos com teoria numérica para calcular o π. Ele usou o fato de que, para qualquer grande amostragem de números aleatórios, a probabilidade de encontrarmos números sem um fator comum é 6/π2. Fator comum é quando dois números têm algum divisor comum, além do número 1. Por exemplo: 3 e 7 não têm fatores comuns, 12 e 10 tem como fator comum o número 2. Mattews calculou a distância angular entre as 100 estrelas mais brilhantes do espaço e transformou isso em 1.000.000 de pares de números aleatórios. Destes, aproximadamente 61% não tinham fatores comuns. Ele chegou a um valor de 3.12772 para π, o que é 99,6% correto.
O número π na água
A constante matemática está na rota de todos os rios curvos que deságuam no mar.A sinuosidade de um rio é descrita pelo comprimento de sua curva dividido pela distância deste ponto até o oceano em linha reta. O resultado é que, em média, os rios têm uma sinuosidade de aproximadamente 3,14 – o número π.
Um número transcendental é um número real ou complexo que não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes inteiros. Um número real ou complexo é assim transcendente somente se ele não for algébrico. Esses números são irracionais e não podem ser escritos na forma de fração.
e - pi - phi - NÚMEROS TRANSCENDENTAIS.
História dos Números Transcendentais
Questões envolvendo a natureza transcendental dos números fascinam os matemáticos desde meados do século XVIII, tornando-se uma área central da teoria dos números. “Às vezes, essas teorias não resolviam um problema original, mas eles passavam a ser ferramentas básicas na investigação de outras questões” (FIGUEIREDO).
Os números algébricos são identificados com certa facilidade: racionais, somas e produtos de raízes de números racionais e a unidade imaginária são exemplos, mas o que tornou esse estudo tão misterioso e desafiador era a incapacidade de exibir exemplos ou algum tipo de classificação para os números transcendentais.
Em 1874, Georg Cantor (1845-1918) provou que o conjunto dos números algébricos é enumerável, o que foi surpreendente: a enumerabilidade deste conjunto implicaria a existência de uma “quantidade” infinitamente maior de transcendentais do que algébricos, muito embora se conhecessem pouquíssimos exemplos. Consoante a Marques (2013), “esta teoria vive um grande paradoxo, se quase todos os números são transcendentais, porque demonstrar a transcendência de um número é, em geral, uma tarefa tão complicada?”.
Grandes matemáticos deram suas contribuições a esta linha de pesquisa, como Cantor, Hilbert e Euler, mas o primeiro número a ter sua transcendência demonstrada foi dado em 1851 pelas mãos do francês Joseph Liouville (1809-1882) que passou a ser chamado de constante de Liouville em sua homenagem.
Em 1873 que Charles Hermite (1822-1901) provou que e (Número de Euler) é transcendental.
Aproximadamente uma década após esta célebre constatação, o alemão Ferdinand von Lindemann (1852-1939) publicou uma bela e “simples” demonstração que π era transcendente. Alexander Gelfond, em 1934, e Theodor Schneider, em 1935, resolveram independentemente o famoso 7º problema de Hilbert proposto em 1900 sobre a transcendência de números como "O teorema de Gelfon Schneider (como ficou conhecido), definiu a natureza algébrica da potenciação de números, estabelecendo uma larga classe de números transcendentais.
Definição
Um número real é chamado algébrico se ele for raiz do polinômio de coeficientes inteiros, por exemplo, 2 é um número algébrico pois é raiz do polinômio x2 - 4 = 0.
Um número β é dito transcendental quando não é algébrico. Ou seja , β é transcendental quando não se consegue obter um polinômio com coeficientes inteiros P, tal que P(β) = 0.
Exemplos de Alguns Números Transcendentais
- O número π 3,141592...
- A Proporção Áurea 1,618...
- O número e 2,718... (base dos logaritmos neperianos)
- O número de Champernowne 0,12345678910111213... obtido escrevendo-se a sequência de números inteiros em base dez (teorema de Mahler, 1961)
- Todos os números de Liouville são transcendentais.
- Ao menos um dos dois números e+π e eπ é transcendental.
- O Teorema de Gelfond-Schneider, que responde ao Sétimo problema de Hilbert , mostra que os seguintes números são transcendentais: √2√2, √5√7, dentre outros.
- O Teorema de Lindemann-Weierstrass mostra que os seguintes números são transcendentes: e√2, sen 1, ln 2, dentre outros.
TRANSCENDENTAL NUMBERS.
Números de Liouville
Em 1844, Joseph Liouville mostrou que o número L = ∑n=1∞10-n!, conhecido como constante de Liouville é transcendente. A ideia de Liouville para encontrar números transcendentais foi encontrar alguma propriedade que fosse satisfeita por todos os números algébricos e, em seguida, construir algum número que não possuísse tal propriedade. A constante de Liouville foi o primeiro número não algébrico a ser apresentado.
Um número é chamado número de Liouville, se existe, (pj / qj) j ≥ 1 ∈ ℚ infinita, qj > 1
tal que |∝ - (pj / qj)| = 2 < 1/qjj, ∀j ≥ 1
Todo número de Liouville é número transcendente, porém nem todo número transcendente é um número de Liouville, como exemplos temos o e, o π e a constante de Chapernowne.
Transcendência de e e de π
O teorema de Lindemann é de suma importância para provar a transcendência do número e (número de Euler) e π.
Teorema de Lindermann
Se a1, ..., an são números algébricos distintos, ea1, ..., ean são linearmente independentes sobre o corpo dos números algébricos.
Ou seja, se β é algébrico não nulo então eβ é transcendente.
Este teorema nos permite derivar de forma mais direta a transcendência de e, π e outros números transcendentais.
Aplicando este teorema para n = 2, a1 = 0 e a2 = 1, obtemos que e é transcendental. Se π fosse algébrico, também o seria πi. Aplicando o teorema para n = 2, a1 = 0, a2 = πi, teríamos 1 e eπi = −1 linearmente independentes sobre os algébricos, o que é falso. Portanto, π é transcendental.
Números Transcendentais e a Matemática
Os números primos e o número de Euler
Um número inteiro maior que 1 é primo se for apenas divisível por si mesmo e por um. Os primeiros números primos são: 2,3,5,7,11,13,17, ... O que nos deixa intrigado é o fato de que os números primos se espalham ao acaso entre os inteiros sem nenhum padrão que governa essa distribuição. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) em 1792, aos 15 anos de idade examinou uma tabela de números primos elaborada por Johann Heinrich Lambert (1728-1777) na tentativa de encontrar uma lei de formação que determinasse a quantidade de números primos que são menores de um número inteiro n.
Atualmente a função que representa a quantidade de números primos menores ou iguais a um inteiro n e denotada por π(n), onde a letra π não tem nenhuma ligação com o valor 3,141592... Dessa forma, π(10) = 4 e π(17) = 7. Depois de examinar a tabela de números primos, Gauss conjecturou:
π(n) = n / ln(n), ou de forma equivalente, π(n) / n = 1 / ln(n) onde ln(n) é o logaritmo natural cuja base é o número de Euler e.
A presença do logaritmo natural na teoria dos números primos mostra que o número e está ligado, mesmo que indiretamente, aos números primos, nos mostrando que são as relações que tornam mais belos os conceitos matemáticos.
A Espiral Logarítmica do Número de Euler
A partir do momento em que Descartes (1596–1650) apresentou a geometria analítica,muitas curvas intrigaram os matemáticos, dentre elas a espiral logarítmica, que foi a curva preferida de Jakob Bernoulli (1654–1705). A representação de curvas no plano pode ser feita por meio de vários sistemas de coordenadas, como por exemplo, as coordenadas polares. Jakob Bernoulli usou extensivamente as coordenadas polares para encontrar as propriedades das curvas. A espiral logarítmica que na época era definida pela equação lnr = aθ , onde a é uma constante e ln é o logaritmo natural na base e, hoje essa equação é escrita na forma inversa, r = eaθ. A espiral logarítmica ou espiral equiangular apresenta característica de auto similaridade, ou seja, não altera sua forma quando o tamanho aumenta. A espiral recebeu o nome equiangular em 1638 por Descartes, pois reflete uma propriedade única da espiral logarítmica. Se desenharmos uma linha reta do polo até qualquer ponto da curva, ela interceptará a curva formando exatamente o mesmo ângulo.
O fato interessante dessa curva é a possível semelhança em relação a sua forma com fenômenos de crescimento da natureza e isso pode ser verificado no redemoinho de uma galáxia ou na concha do náutilo.
Curiosidades do Número π
- O cálculo do π com milhões de casas decimais é usado para testes em computadores e programas (Hardware e software). Uma diferença em um dos algarismos, indica falha nas arquiteturas.
- Apenas quarenta e sete casas decimais do π seriam suficientemente precisas para inscrever um círculo em torno do universo visível. Resultado esse, cujo erro, relativamente à circularidade perfeita, não é maior que um simples próton.
- A pior aproximação de π, surgiu em 1897 quando a "House of Representatives", no estado de Indiana, apresentou uma proposta de lei que decretou que o valor de π era 4.
- Na Grécia antiga o símbolo π era usado para denotar o número 80.
- A fração 22/7 é usada frequentemente como aproximação para o π. A fração que melhor se aproxima de π, embora mais difícil de decorar é 104348/33215.
- É irracional, ou seja, π não pode ser expresso através de uma fração.
O Número π em Todas as Partes
O número π no espaço
O astrônomo Robert Mattews, da Universidade de Aston na Inglaterra, combinou dados astronômicos com teoria numérica para calcular o π. Ele usou o fato de que, para qualquer grande amostragem de números aleatórios, a probabilidade de encontrarmos números sem um fator comum é 6/π2. Fator comum é quando dois números têm algum divisor comum, além do número 1. Por exemplo: 3 e 7 não têm fatores comuns, 12 e 10 tem como fator comum o número 2. Mattews calculou a distância angular entre as 100 estrelas mais brilhantes do espaço e transformou isso em 1.000.000 de pares de números aleatórios. Destes, aproximadamente 61% não tinham fatores comuns. Ele chegou a um valor de 3.12772 para π, o que é 99,6% correto.
O número π na água
A constante matemática está na rota de todos os rios curvos que deságuam no mar.A sinuosidade de um rio é descrita pelo comprimento de sua curva dividido pela distância deste ponto até o oceano em linha reta. O resultado é que, em média, os rios têm uma sinuosidade de aproximadamente 3,14 – o número π.
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Muito bom, porém difícil.
ResponderExcluirÉ bem complicado.
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